傅里叶变换

Fourier Fransform FT

信号处理的本质，将函数（通常是时间域或空间域的信号）分解成在不同频率上的正弦和余弦波（或复指数函数）的叠加

\begin{array}{r} F \end{array}

\begin{array}{r} f (t) = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} \int_{- \infty}^{+ \infty} [f (τ) e^{- j ω τ} d τ] e^{j ω t} d ω \end{array}

傅里叶变换：揭示了信号的频率成分，将信号从时域（或空间域）转换到频域

\begin{aligned} F (ω) & = \int_{- \infty}^{+ \infty} f (t) e^{- j ω t} d t = F [f (t)] \end{aligned}

傅里叶逆变换：将频域的频谱函数 $F (ω)$ 转换回时域的原始函数 $f (t)$ 的过程

\begin{aligned} f (t) & = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (ω) e^{j ω t} d ω = F^{- 1} [F (ω)] \end{aligned}

$F (ω)$ 和 $f (t)$ 构成一个 Fourier 变换对

在频谱分析中： $F (ω)$ 称为 $f (t)$ 的频谱密度函数，也即频谱

对一个时间函数求 Fourier 变换，也就是求这个时间函数的频谱函数，也即：求积分表达式

\begin{array}{r} \int_{- \infty}^{+ \infty} F (ω) d ω = 2 π f (t) \end{array}

一般而言：这里求积分表达式只需要把 $F (ω)$ 写为 $ω$ 的函数即可，不用再进行下去了
注意分段的表达，也要注意间断点处为左右极限的平均值

注意

计算傅里叶变换与逆变换时，首先要根据定义计算

计算过程中，一些可使用的技巧：

广义傅里叶变换通过引入冲激函数等广义函数，极大扩展了傅里叶变换的应用范围，将离散的频谱以连续频谱的方式表现出来，统一了周期函数和非周期函数（傅里叶级数和傅里叶变换）的频谱分析。

\begin{array}{r} F [δ (t)] = \int_{- \infty}^{+ \infty} δ (t) e^{- i ω t} d t = e^{- i ω t} |_{t = 0} = 1 \end{array}

\begin{array}{r} F^{- 1} [1] = \frac{1}{2 π} \int_{- \infty}^{+ \infty} e^{i ω t} d ω = δ (t) \end{array}

此时冲激函数的傅里叶变换仍然采用傅里叶变换的古典定义，但是反常积分是根据冲激函数的性质直接给出的，并非普通意义下的积分值，运用此概念可以将一些常见的函数进行傅里叶变换（尽管它们不满足绝对可积条件）

注意

由于冲激函数的引入，扩展了傅里叶变换的应用范围，并且统一了周期函数和非周期函数的积分表达
由经典的傅里叶积分得到的傅里叶变换一般需要“绝对可积”的条件，但是广义的傅里叶变换不一定需要“绝对可积”

\begin{aligned} F [δ (t)] & = 1 \\ F [1] & = 2 π δ (ω) \\ F [t^{n}] & = 2 π j^{n} δ^{(n)} (ω) \\ F [e^{j ω_{0} t}] & = 2 π δ (ω - ω_{0}) \end{aligned}

单位阶跃函数

u (t) = {\begin{cases} 1, t > 0 \\ 0, t < 0 \end{cases}

\begin{array}{r} F [u (t)] = \frac{1}{j ω} + π δ (ω) \end{array}

单边衰减指数函数

f (t) = {\begin{cases} e^{- a t} t \geq 0 \\ 0 t < 0 \end{cases}

\begin{array}{r} F [f (t)] = \frac{1}{a + j ω} \end{array}

傅里叶变换具有许多重要的性质，这些性质在信号分析和系统设计中非常有用：

\begin{aligned} F [c_{1} f_{1} (x) + c_{2} f_{2} (x)] & = c_{1} F_{1} (ω) + c_{2} F_{2} (ω) \end{aligned}

\begin{array}{r} F [f (t \pm t_{0})] = e^{\pm i ω t_{0}} F (ω) \end{array}

\begin{array}{r} F^{- 1} [F (ω - ω_{0})] = e^{j ω_{0} t} f (t) \end{array}

\begin{array}{r} F [e^{\pm i ω_{0} x} f (x)] = F (ω \mp ω_{0}) \end{array}

\begin{array}{r} F [f (a x)] = \frac{1}{| a |} F (\frac{ω}{a}) \end{array}

\begin{aligned} F [f^{'} (x)] & = i ω F (ω) \\ F [f^{(n)} (x)] & = (i ω)^{n} F (ω) \end{aligned}

偏微分方程 $\overset{F T}{\to}$ 常微分方程 $\overset{F T}{\to}$ 代数方程

这个性质在求解微分方程时非常有用，可以将微分方程转换为代数方程。

\begin{array}{r} F [\int_{x_{0}}^{x} f (ξ) d ξ] = \frac{1}{i ω} F (ω) \end{array}

卷积定义：

\begin{array}{r} f_{1} (t) * f_{2} (t) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (τ) f_{2} (t - τ) d τ \end{array}

时域卷积定理：时域的卷积对应频域的乘积：

\begin{aligned} F [f_{1} (x) * f_{2} (x)] & = F_{1} (ω) F_{2} (ω) \end{aligned}

频域卷积定理：时域的乘积对应频域的卷积：

\begin{aligned} F [f_{1} (x) \cdot f_{2} (x)] & = \frac{1}{2 π} F_{1} (ω) * F_{2} (ω) \end{aligned}